При­ме­ним фор­му­лу Ге­ро­на где p  — по­лу­пе­ри­метр, а a, b, c  — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. В нашем слу­чае по­лу­пе­ри­метр равен 18, тогда

Ответ: 60 см².

При­ме­ним фор­му­лу Ге­ро­на где p  — по­лу­пе­ри­метр, а a, b, c  — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. В нашем слу­чае по­лу­пе­ри­метр равен 16, тогда

Ответ: 48.

По тео­ре­ме о сумме длин тре­уголь­ни­ка, каж­дая сто­ро­на долж­на быть мень­ше суммы двух дру­гих. По­это­му пра­виль­ный ответ б).

Ответ: б).

По тео­ре­ме о сумме длин тре­уголь­ни­ка, каж­дая сто­ро­на долж­на быть мень­ше суммы двух дру­гих. По­это­му пра­виль­ный ответ г).

Ответ: г).

Пусть длина тре­тьей сто­ро­ны равна x. При­ме­ним фор­му­лу Ге­ро­на где p  — по­лу­пе­ри­метр, а a, b, c  — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. В нашем слу­чае по­лу­пе­ри­метр равен имеем

Пусть x²  =  t, тогда

Вернёмся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным, учи­ты­вая тот факт, что от­ри­ца­тель­ные ре­ше­ния не под­хо­дят по смыс­лу за­да­чи:

Итак, тогда сумма квад­ра­тов кор­ней равна

Ответ: 226.

Пусть длина тре­тьей сто­ро­ны равна x. При­ме­ним фор­му­лу Ге­ро­на где p  — по­лу­пе­ри­метр, а a, b, c  — сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. В нашем слу­чае по­лу­пе­ри­метр равен имеем

Пусть x²  =  t, тогда

Вернёмся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным, учи­ты­вая тот факт, что от­ри­ца­тель­ные ре­ше­ния не под­хо­дят по смыс­лу за­да­чи:

Итак, тогда сумма квад­ра­тов кор­ней равна

Ответ: 200.

Так как сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, то угол А  =  180° − 25° − 35°  = 120°. В тре­уголь­ни­ке на­про­тив боль­ше­го угла лежит боль­шая сто­ро­на, а это сто­ро­на BC.

Ответ: BC.

Так как сумма углов тре­уголь­ни­ка равна 180°, то угол C  =  180° − 110° − 55°  = 15°. В тре­уголь­ни­ке на­про­тив мень­ше­го угла лежит мень­шая сто­ро­на, а это сто­ро­на AB.

Ответ: AB.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны, а зна­чит, угол при вер­ши­не равен 180° − 42° − 42°  =  96°.

Ответ: 96°.

Сумма углов в тре­уголь­ни­ке равна 180°, так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, углы при его ос­но­ва­нии равны, а зна­чит, угол при вер­ши­не равен 180° − 38° − 38°  =  104°.

Ответ: 104°.

До­стро­им па­рал­ле­ло­грамм до тра­пе­ции, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма,

Так как BD  — вы­со­та, то угол AOD равен 90°, зна­чит, тре­уголь­ник AOD  — пря­мо­уголь­ный. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма BC = AD = 12, а HP = BD = 10, тогда

Ответ: 60 см².

До­стро­им па­рал­ле­ло­грамм до тра­пе­ции, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

По свой­ству па­рал­ле­ло­грам­ма

Так как BD  — вы­со­та, то угол AOD равен 90°, зна­чит, тре­уголь­ник AOD  — рав­но­бед­рен­ный.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

По опре­де­ле­нию па­рал­ле­ло­грам­ма BC = AD = 8, а HK = BD = 12, тогда

Ответ: 48 см².

Пусть MN, NK, KM  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ка ABC, ко­то­рые со­от­вет­ствен­но равны 5x, 3x, 7x.

По свой­ству сред­ней линии по­лу­ча­ем, что Зна­чит,

По усло­вию пе­ри­метр равен 150, тогда по­лу­ча­ем, что

Под­ста­вим x:

Сто­ро­ны в два раза боль­ше сред­них линий, зна­чит, AC  =  50, AB  =  30, BC  =  70. Длина наи­боль­шей сто­ро­ны равна 70.

Ответ: 70.

Пусть MN, NK, KM  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ка ABC, ко­то­рые со­от­вет­ствен­но равны 7x, 3x, 8x. По свой­ству сред­ней линии по­лу­ча­ем, что Зна­чит,

По усло­вию пе­ри­метр равен 180, тогда по­лу­ча­ем, что

Под­ста­вим x: MN = 7 · 5 = 35, NK = 3 · 5 = 15, MK = 8 · 5 = 40. Сто­ро­ны в два раза боль­ше сред­них линий, зна­чит, AC = 70, AB = 30, BC = 90. Длина наи­мень­шей сто­ро­ны равна 30.

Ответ: 30.

До­стро­им тре­уголь­ник ABC до па­рал­ле­ло­грам­ма ABCM. Тогда Р  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, зна­чит,

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке AMC:

Так как ABCM  —па­рал­ле­ло­грамм по по­стро­е­нию, то ис­ко­мый

Ответ:

До­стро­им тре­уголь­ник ABC до па­рал­ле­ло­грам­ма ABCP. Тогда M  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей, зна­чит,

При­ме­ним тео­ре­му ко­си­ну­сов в тре­уголь­ни­ке APC:

Так как ABCP  —па­рал­ле­ло­грамм по по­стро­е­нию, то ис­ко­мый

Ответ:

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Фа­ле­са. Имеем:

Ответ: в).

Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой Фа­ле­са. Имеем:

Ответ: 9.

Так как тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, то их пе­ри­мет­ры от­но­сят­ся как ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия. Имеем: То есть, Это зна­чит, что от­ку­да, A₁B₁=3 · 8 : 2  =  12.

Ответ: 12.

Так как тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, то их пе­ри­мет­ры от­но­сят­ся как ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия. Имеем: То есть, Это зна­чит, что от­ку­да, AB=3 · 8 : 4  =  6.

Ответ: 6.